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단진자
길이와 처음 각도를 바꾸면서 주기를 직접 재어 보세요. 교과서의 T = 2π√(L/g) 는 각도가 작을 때만 맞는 근사식입니다 — 언제부터 어긋나는지 확인해 보세요.
실시간 측정값
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시간에 따른 각도와 각속도
파란선은 각도 θ, 주황선은 각속도 ω이며 오른쪽 끝 점이 현재 값입니다.
단진자의 운동과 주기 공식
시뮬레이션은 sin θ를 그대로 사용하는 비선형 운동방정식을 계산합니다.
θ″ + bθ′ + (g/L)sinθ = 0, 작은 각도에서 T ≈ 2π√(L/g)
정확한 운동은 sinθ가 포함된 비선형 방정식으로 계산합니다. 교과서의 주기 공식은 |θ|가 충분히 작아 sinθ ≈ θ로 둘 수 있을 때의 근사값입니다.
공식 증명 더 알아보기
추의 접선 방향 복원력은 −mg sinθ이고, 회전 운동식 mLθ″ = −mg sinθ에서 θ″ + (g/L)sinθ = 0을 얻습니다. 공기 저항을 각속도에 비례한다고 두면 bθ′ 항이 추가됩니다.
작은 각도에서 sinθ ≈ θ이므로 θ″ + (g/L)θ = 0인 단순 조화 운동이 됩니다. 각진동수는 ω₀ = √(g/L), 따라서 주기는 T = 2π/ω₀ = 2π√(L/g)입니다. 큰 각도에서는 sinθ ≈ θ가 성립하지 않아 실제 주기가 이 값보다 길어집니다.