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입자의 운동
온도를 올리면 기체 입자가 어떻게 움직이는지 직접 보세요. 같은 온도에서도 입자마다 속력이 다릅니다 — 평균만 보고 "모두 같은 속력"이라고 생각하기 쉬운데, 아래 분포 그래프에서 실제로 얼마나 퍼져 있는지 확인할 수 있습니다.
실시간 측정값
- 평균 속력
- —
- 가장 느린 입자
- —
- 가장 빠른 입자
- —
- 충돌 횟수
- —
- 상대 압력
- —
속력 분포
막대는 지금 이 순간 각 속력 구간에 있는 입자 수이고, 선은 맥스웰–볼츠만 분포입니다. 세로 점선이 평균 속력입니다. 이 화면은 2차원 평면 모형이라 분포식이 f(v) ∝ v·exp(−v²/2a²)입니다 — 교과서의 3차원 분포 f(v) ∝ v²·exp(−mv²/2kT)와 봉우리 모양이 조금 다릅니다. 온도가 오르면 봉우리가 오른쪽으로 옮겨가며 낮고 넓어진다는 성질은 3차원과 같습니다.
온도와 입자의 속력
시뮬레이션은 입자 하나하나의 충돌을 계산하고, 그 결과가 이론 분포와 겹치는지 보여줍니다.
½mv̄² = (3/2)kT, vrms = √(3kT/m)
온도는 입자의 평균 운동에너지입니다. 온도를 두 배로 올려도 속력이 두 배가 되지는 않습니다 — 제곱근이 붙어 있어 약 1.41배가 됩니다. 슬라이더로 300 K에서 600 K로 올려 평균 속력을 직접 비교해 보세요.
공식 증명 더 알아보기
한 변이 L인 정육면체에 질량 m인 입자가 x축으로 vx로 움직인다고 합시다. 벽에 부딪혀 되튈 때 운동량 변화는 2mvx이고, 왕복에 걸리는 시간은 2L/vx입니다. 따라서 이 입자가 벽에 주는 평균 힘은 mvx²/L입니다.
입자 N개에 대해 더하고 면적 L²로 나누면 P = Nm⟨vx²⟩/L³이 됩니다. 방향이 특별할 이유가 없으므로 ⟨vx²⟩ = ⟨v²⟩/3이고, PV = (1/3)Nm⟨v²⟩입니다.
이것을 이상기체 상태방정식 PV = NkT와 견주면 (1/3)m⟨v²⟩ = kT, 즉 ½m⟨v²⟩ = (3/2)kT를 얻습니다. 온도가 곧 평균 운동에너지라는 뜻입니다. 여기서 vrms = √(⟨v²⟩) = √(3kT/m)이 나옵니다.
같은 온도에서 질량이 크면 속력이 작아지는 것도 이 식에서 바로 보입니다. 수소(2 u)와 산소(32 u)는 질량이 16배 차이나므로, 같은 온도에서 수소가 산소보다 √16 = 4배 빠릅니다.